凸函数的开题报告

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凸函数的开题报告

一、文献综述

凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于 Jensen[1905]

著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应

用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控

制等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强它们

在实践中的应用，产生了广义凸函数。

凸函数有许多良好的性质，例如，其中一个很重要的性质就

是：在凸集中，凸函数的任何局部最小也是全局最小。它在数学

的许多领域中都有着广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、

数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。

但是凸函数的局限性也很明显，因为在实际问题中，大量的

函数都是非凸的。为了理论上的突破，加强它们在实践中的应

用，60 年代中期产生了凸分析，凸函数的概念也按多种途径进行

推广，或对于抽象空间的推广，或对于上面提到的不等式的推

广，然后提出了广义凸函数的概念。60 年代后期，先是有

Mangasarian 把凸函数的概念推广到拟凸函数(quasi-convex

functions)和伪凸函数(pseudo-convex functions)。我们知道，

在数学规划的理论及算法中，函数的凸性只是一个充分条件，而

不是必要条件。如何推广函数的凸性概念，使得在更广泛的函数

范围内，凸函数的许多重要性质仍然得以保留，凸规则的大多数

结果能推广到非凸规则，已构成了数学规划研究领域的当前趋势

之一，所以研究广义凸函数的一些定义和性质就显得十分必要

了。

拟凸函数(quasi-convex functions)是一类非常重要的广义

凸函数，已有大量文献对此作了研究，拟凸函数可以定义为：如

果对任意及任意的，有，则称为上的拟凸函数。先是杨新民

教授给出了拟凸函数、严格拟凸函数及强拟凸函数的性质，讨论

了他们之间的关系，得到了某些有意义的结论。拟凸函数的定义

具有多种形式且相互之间有等价关系。同时又有许多专家研究拟

凸函数的上半连续性和下半连续性。伪凸函数(pseudo-convex

functions)是另一类重要的广义凸函数，其中强伪凸函数和严格

伪凸函数尤其被数学工作者所研究。强伪凸函数恰好是二次函数

的严格伪凸性的推广，所有关于二次函数严格伪凸的特征同样也

是二次函数强伪凸的特征。

二、立题背景及意义

凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于 Jensen[1905]

著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应

用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控

制等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强它们

在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文主要是研究几类凸函

数的性质与应用。探讨拟凸函数、严格拟凸函数及强拟凸函数的

定义、性质以及这三类函数之间相互转换的充分必要条件，也讨

论拟凸函数的连续性和可微性。同时也对强伪凸函数性质进行研

究，得到一些有意义的结论。

凸函数是一类重要的函数，在数学的许多领域中都有着广泛

的应用，但是它的局限性也很明显。如何推广函数的凸性概念，

使得在更广泛的函数范围内，凸函数的许多重要性质仍然得以保

留，所以研究广义凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。

三、研究内容与研究方法

研究内容：一是对研究的背景和意义进行分析论述，二是对

凸函数的定义及其相互关系分析论述，三是对凸函数的性质分

析，四是对凸函数的应用分析。

研究的方法：主要是运用了文献综述的理论论述和定量分析

的方法，具体步骤为：

1.查阅有关凸函数的性质与应用的书籍和文献资料，结合教

学实习了解中学数学教学中教师对凸函数的性质与应用及效果情

况，对其过程、环节和情况做出分析。

2.写出开题报告，指出现今文献中对凸函数的性质与应用的

探讨研究情况，分析文献资料，并基于文献提出有关值得探讨和

挖掘的问题，列出论文提纲。

3.在论文写作过程中注意理论与实践相联系，解决提出的问

题，寻求恰当切入点，进行论述，并提出自己的论点和相关的改

革建议。

4.参加论文答辩

四、预期结果(预期达到的技术性能指标及提供的成果形式)

本文研究几类广义凸函数的定义和性质。探讨拟凸函数、严

格拟凸函数及强拟凸函数的定义、性质以及这三类函数之间相互

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摘要：

凸函数的开题报告一、文献综述凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen[1905]著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。凸函数有许多良好的性质，例如，其中一个很重要的性质就是：在凸集中，凸函数的任何局部最小也是全局最小。它在数学的许多领域中都有着广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。但是凸函数的局限性也很明显，因为在实际问题中，大量的函数都是非凸的。为了理论上的突破，加...

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